“你们好！我很高兴能来到这里为大家进行汇报。”首次在复旦大学作演讲的数学家、菲尔茨奖得主安德烈·奥昆科夫（Andrei Okounkov），以中文作为开场白亲切问候，激起现场听众的热烈掌声。
“中文是一门很复杂的语言，对我而言充满挑战，就像数学对很多人而言充满挑战一样。”明天将迎来55岁生日的奥昆科夫正在努力学习中文，他希望告诉大家，数学的美丽无与伦比，即使这份美丽有时没那么容易理解。
7月25日上午，第七期“浦江科学大师讲坛”在复旦大学相辉堂举行，奥昆科夫教授以“表示论的源头与硕果”为题分享了他在数学领域的独到见解。
作为当代最杰出的数学家之一，奥昆科夫解决了多个重要猜想和重大问题，在表示论、代数几何、动力系统、组合学、概率论、弦理论、统计力学等多个领域做出了奠基性的工作成果，并以将概率论、表示论和代数几何相互联系的工作荣获2006年菲尔茨奖。
上海市政协副主席吴信宝出席讲坛并为安德烈·奥昆科夫教授颁发“主讲科学家”纪念证书，复旦大学校长、中国科学院院士金力主持讲坛并致辞。上海市政协、上海市政协科教委、市科技党委、市科委、市教委、市科协等单位负责人，上海市各高校、中学师生及科研人员代表出席活动。
从对称性出发，追溯表示论源流
表示论的源头是什么？不妨先看看这些充满对称的图形：正多面体、晶体结构，还有各种美丽繁复的饰品花纹。
“人类喜欢对称，正是对称思维激发了表示论的诞生。”奥昆科夫将时间轴拉回古希腊时代。当时的人们并不理解对称背后的数学含义，只是朴素地将其和“火”、“气”、“水”、“土”和“以太”等神秘的“基本元素”联系起来。
数学中的对称性有两大分类——离散对称性和连续对称性，其本质区别在于是否可以存在微小的扰动。比如奥昆科夫展示的毕加索画作《舞会上的杂技演员》中，杂技演员脚下的球体经过微小的扰动就可以到达新的平衡位置，而观众身下的立方体仅有6个平衡位置。
“当我们看到一个现象，不应仅仅思考这个现象，而应思考其背后的一般规律。这需要一种正确的、系统性的阐述方式。”奥昆科夫说，数学家们就是用抽象符号给出了对以上现象的阐述方式——抽象代数中“群”的概念。
群是数学研究的基本对象之一，简单来说，它是一个带有“乘法”作用的集合，这样一个抽象概念可以很好地描述“对称”这一现象。“我们可以用对称变换的全体——对称变换群来描述研究对象的对称性。”
奥昆科夫用SO(3)（即三维空间的旋转变换群）为例，形象解释了这样一个抽象的群如何具体和一个半径为π的实心球体中的点对应起来，并通过将球壳的对径点粘合，将SO(3)和三维射影空间等同起来。
他认为，不同的对象可能拥有相同的对称群，比如正十二面体和正二十面体，因此我们应该研究群在具体对象上的“表现形式”，表示论就是研究这种“表现形式”的数学。表示论的核心是，不仅考虑我们研究的对象，还应该进一步考虑该对象所在的欧式空间，如正多面体所在的三维空间和正多边形所在的二维平面，将研究对象上的变换延伸到整个空间上，这一般也被称为群作用在整个空间上。
奥昆科夫进一步解释，线性作用在所有的作用中扮演着特殊角色，这种将代数结构中的元素表示为欧式空间上的线性变换的方式，就叫做表示论。
“群只是一种内在结构，表示才是真正起作用的地方，而线性表示的特殊之处在于，它可以被分解成一些基本结构——不可约表示。”在他看来，通过研究不可约表示，群的代数结构与其在现实世界的作用之间搭起了一座沟通的桥梁。
搭建抽象理论与现实世界间的桥梁
与数学界许多更为古老的领域相比，20世纪后半叶兴起的表示论称得上一个相对年轻的方向，当下更是以日新月异的速度发展，并与其他学科呈现交叉融合趋势。
作为表示论领域的领军人物，奥昆科夫认为表示论目前在理论物理、计数几何等研究领域展现出了相当重要的价值，这一抽象的数学理论在现实世界的研究中也发挥着越来越重要的作用。
奥昆科夫介绍了一类重要的群——Weyl群，这也是表示论与物理学融合的重要案例。相比一般包含对称、旋转、反射和滑反射等变换的对成群，Weyl群是仅由反射组成的有限群。
通过展示17张猫咪图案壁纸，奥昆科夫解释了Wyel群的罕见性：“这是将猫咪图案通过对称变换得到的非常漂亮的17张照片，但是其中只有4张照片，它的对称群仅由反射组成。”
而通过六边形结构雪花的例子，他解释了Weyl群在表示晶体群结构及量子色动力学等领域的重要作用。在此基础上，他进一步介绍了仿射Kac‐Moody群——由反射生成的无限晶体群，可以用来描述物理上有无限维自由度的量子系统，这一重要特性让其在量子场论等物理研究领域有着重要应用。
在表示论如何对应现实世界的问题上，奥昆科夫使用SO(3)的表示刻画氢原子结构这一案例为听众解释表示论搭建由抽象世界到现实世界桥梁的过程。
数学家们发现，SO(3)的不可约表示可以和物理上电子轨道对应起来。通过把研究对象分解成不可约表示，表示论在量子力学、偏微分方程、数论等多个重要领域发挥了重要的作用。
“表示论与其他学科的结合是一个重要研究方向。把这些数学理论应用到具体问题的解决中是很有意义的，这也意味着我们对相关理论的理解达到了新的高度。”奥昆科夫相信，表示论对物理和化学等学科的作用仍有许多尚待挖掘。
关注AI同时不能忘记经典理论
近年来，奥托科夫与中国数学界有着频繁交流与合作，2023年11月他当选为中国科学院外籍院士。奥托科夫曾多次造访我国高校，与国内优秀年轻学者面对面交谈。今年，他成为上海数学与交叉学科研究院（SIMIS）访问学者。
与许多数学研究者的成长经历不同，奥昆科夫年轻时最初涉足的是经济学领域，而后才转向了数学理论研究。
面对听众提问，他回顾了当年的心路历程：“很多研究者都会对自己所属的学科有一种朋友般的亲近感。我当时也非常喜欢经济学，经济学本身就是充满数学工具的学科，但我最终发现自己最喜爱的还是数学理论研究，事实也证明这是最适合我的专业方向。”
“作为研究人员，你可以适当挑战自己，但归根结底你还是要找到你适合的研究领域，而不是强迫自己学习不喜欢的东西。”他强调。
奥昆科夫被认为一个涉猎广泛的数学家。他的工作很难归类，因为他涉及到如此多的领域，但有两个明显的主题，就是使用随机性的概念和表示论中的经典思想。
“从个人职业生涯来说，我可能在解决某一个问题的时候会联动很多其他学科，而我们会发现，最终解决这些问题的归因都来自最初的那几个问题。”他坦言。
因此，给予年轻学子建议时，奥昆科夫总是反复提及“打好基础”。他认为，信息爆炸的时代，许多年轻人在学习前沿知识方面展现出超凡热情，这一点值得肯定。但他希望大家在学习新兴成果时，也不要忘记那些优秀的学术经典和传统，不要忘记从数学学科悠久的历史长河中汲取力量。
正如当下，人工智能发展如火如荼，奥昆科夫认为，人工智能是数学研究的有力工具，可以在人工智能建模、大样本量计算等方面大大降低数学家的工作负担，但从另一个角度而言，人工智能并不能完全取代数学研究者本人的工作，尤其是在精确性等指标上，其表现仍有不足。
“我们既不能固守传统，也不能一味追求AI的发展。”在奥昆科夫看来，传统计算方法与最新的人工智能研究方法可以在数学理论研究中和谐共存，这需要我们用好数学传统的同时，及时吸纳人工智能最新应用。
