编者按：今年3月17日是著名数学家、复旦大学前校长苏步青先生逝世十周年纪念日，为了表达对苏先生的深切缅怀之情，本刊特全文刊载校数学科学学院李大潜、华宣积教授撰写的长篇纪念文章 ——《苏步青：中国微分几何学派的创立者》。
著名数学家苏步青先生于上世纪三、四十年代创立了中国微分几何学派，这一段光辉的历史倍受数学界同仁和界外朋友的关注,现将收集和整理的有关资料与大家共享。
两个重要的历史记载
1977年，美国出版了一本书，书名是“Pure and Applied Mathematics in the People' s Republic of China”。它是1976年美国纯粹和应用数学家访华代表团提交的一个报告。该代表团由著名大学和研究所（哈佛大学、耶鲁大学、普林斯顿大学、加州大学贝克莱分校、芝加哥大学、库朗研究所和贝尔实验室等）的9名数学家、一名学术交流委员会职员和一名卡恩萨斯大学语言系教师组成。他们从5月3日至27日来华访问了中国科学院数学研究所、清华、北大、复旦、华师大、黑龙江大学和哈尔滨工程学院，听取了多场学术报告，参加了多次座谈会。
该书中两次谈到苏步青领导的几何学派[1]。在该书的第3页，写到30年代有少数数学家从国外获得博士学位后回国从事教育工作，使中国的数学水平有了很大提高，所举的第一个例子就是苏步青和陈建功两位先生：“例如，几何学家苏步青和分析学家陈建功在日本学成后都在浙江大学任教，并形成了学派。”（“For example,the geometer Su pu-ching and the analyst Chen chien-kung, both trained in Japan and both teaching at Chekiang university, were forming schools at that time.”）在该书第26页关于几何学的一段中，写道：“在浙江大学曾经有一个以苏步青为首的经典几何学派，但后来由于它的成员成为应用数学家而消失。”（“At Chekiang university there had been a school of classical geometers headed by Su pu-ching but it disappeared when its members became applied mathematicians。”）。著名数学家陈省身在为苏步青的书《微分几何讲义》（《Lectures on Differential Geometry》）[2]写的前言中说：“1931年，苏教授在美丽的杭州城担任国立浙江大学数学教授。他创立了一个微分几何学派，培养出许多优秀的学生，其中有熊全治、张素诚、杨忠道、谷超豪和胡和生等”。
离乱坚斗志
从以上的记载可以看到，以苏步青为首的微分几何学派，是1931年苏先生回国担任浙江大学数学系教授之后形成的。这期间，不但苏先生自己做出了杰出的研究工作，而且培养了众多优秀学生，他们的研究成果得到国际上高度评价与认可，一个引人注目的中国微分几何的学术团体逐步形成。
苏先生回国任教，并经历了千辛万苦坚持在国内进行数学研究和教学，是学派形成的先决条件。在获得博士学位之前，由校教授会主席、数学系主任林鹤一先生力荐，他已在日本东北帝国大学当上了讲师。他的指导教授准备推荐他去某大学当副教授，这样的机会是不可多得的。他在仿射微分几何的研究中,对一般曲面的正常点，发现了一个四次（三阶）代数曲面，它与附属于该点的一系列重要图形联系起来，刻画了曲面在该点近旁的几何结构。在1930年该曲面已被称为苏锥面[3]。如果他继续留在国外，个人在学术上可望顺利地继续发展，再加上他已有一个美满的家庭，妻子松本米子美丽端庄、温柔体贴，并且已有一双儿女，但他的报国心和强国梦让他放弃国外的优越条件，婉拒有关聘请，不顾挚友和导师的相劝，1931年毅然偕夫人带着子女回到祖国。他与陈建功先生在留学期间就约定，学成后一起回老家，把浙江大学数学系办成世界一流的数学系，为国家培养优秀数学人才。
当时，中国军阀混战，政局动荡。他到了浙大，生活上的困难超出想像。聘书上写明月俸大洋300元，但学校经费无着，连续四个月没有拿到一分钱。他面临很大困难，一度曾有重返日本的想法。邵裴子校长知道后登门拜访，对他说：“你是我们的宝贝，你不能走。”没几天邵校长为他送来1200大洋，解决了他无米之炊的困难，让他终生难忘。
日本对中国的侵略为我国人民带来了劫难。1937年8月14日，日本空军首炸杭州，美丽的西子湖变成了地狱。浙大在竺可桢校长领导下，走上了漫长的西迁办学之路。浙大先临时迁到建德，又迁往江西泰和，再迁至广西宜山，最后于1940年迁到贵州遵义，理学院和农学院又于1941年初前往湄潭，直至1946年。国民党军队节节败退，大片国土沦丧，后方经济崩溃，物价飞涨，大学教授靠工资难以糊口，许多人弃学经商。苏先生为了维持一家八口的生活，下班后把破庙前半亩荒地开垦出来，种菜种地瓜补贴家用。为节省开支，他把烟也戒了。更使他痛心的是，他的一个儿子，因营养不良，出生不久就死了。他这样的大教授生活都如此艰难，一般的师生员工更可想而知。大后方的生活已如此艰难，西迁路上颠沛流离时就更加艰难了。但就在吃山芋干、点桐油灯、住破庙这样的艰苦条件下，中国的微分几何学派却产生和发展起来，苏先生及他的学生们的顽强和毅力是我们无法想象的。
1931-1945年的教学和科研
生活虽苦，为祖国培养人才的意志弥坚。到浙大后，苏步青先生与陈建功先生每人开四门课。他承担二年级的坐标几何，三年级的综合几何，四年级的微分几何和数学研究甲、乙等课。图书资料少，他就利用暑假去日本抄回20多万字的最新资料。他们办起了微分几何和函数论两个讨论班，苏、陈分别主持。参加者要定期报告自己的研究成果和阅读最新文献的体会，并互相质询、答辩，将青年教师和高年级学生迅速推到世界数学发展的前沿。他们大力提倡教学和科研相结合，既培养了高质量的学生，又不断有高质量的论文发表。
苏先生对讨论班的优点做过归纳：第一，培养学生严谨的学风。学生必须仔细阅读书籍和文献，在阅读中如发现问题，要推敲到底。第二，使学生养成独立思考的习惯。报告者在阐述学习心得时，要有独到之处，必须深入思考和研究。大家在一起充分讨论，开动脑筋、明辨是非，提高了分析问题和解决问题的能力。第三，教师在讨论班上可以针对每个报告人的具体情况进行有的放矢的个别指导。
苏先生回国后的第一时期（1931-1945年），其研究的主攻方向由仿射微分几何转到射影微分几何。射影微分几何是由美国维尔辛斯基（E.J.Wilczynski）、意大利富比尼（G.Fubini）和切克(Cech)等开创的。孙鎕（1899-1979）在芝加哥大学莱恩（E.P.Lane）指导下研究射影微分几何，获得博士学位后回国任清华大学教授，发表过几篇论文。陈省身在孙鎕指导下当研究生（1931-1933）时，也在射影微分几何方面写过几篇论文，但后来陈先生去德国和法国留学，转到整体微分几何。苏先生很快在射影微分几何方面做出了系统的研究成果，从1931年到1949年，他和他的学生在美国、日本、英国、法国、德国、意大利、比利时、秘鲁等国的著名杂志上共发表了100多篇论文（1935年中国数学会成立后，由苏步青担任《中国数学会学报》总编辑，他们也有一些论文发表在该杂志上）。苏先生自己就发表了射影曲线论文26篇，射影曲面论文30篇。在通常的微分几何研究中总把奇点撇开，而苏先生在射影曲线论研究中恰恰抓住了奇点，借助于平面曲线可表奇点的几何结构，建立了与前人完全不同的构造性方法，清楚地将整个理论一下子展现出来，完成了N维空间曲线的几何学构造理论，别开了生面,震撼了学坛。世界著名的德国数学家伯拉须凯曾赞誉他是”东方第一几何学家”[4][5]。
苏先生在射影曲面论的研究中，对周期为4的拉普拉斯（Laplace）序列作了深入而富有成效的工作，这种序列被称为“苏链”[6]。陈省身先生在《苏步青数学论文选集》献辞[7]中写道：“苏教授通过研究对角条件的周期4共轭网的Laplace序列，得到了sine-Gordon方程和 sinh-Gordon方程。几何学与物理学的这种统一的确是一个非常了不起的成果。”陈先生在文献[2]中，对苏先生的论著的评论是：“他在曲面的仿射和射影微分几何方面的论著卷帙浩繁，并获得过多项漂亮的成果。特别值得一提的是他用奇点处的不变量对其他不变量做出了解释。”
1931-1945年指导的学生
1934年，苏先生在浙大指导的第一个学生方德植毕业。方先生的论文《定挠曲线的一个特征》对法国著名数学家达尔布的一个公式作了重要改进，国内外许多数学家都把这一结果写进了教科书。熊全治先生在他的文章[8]中写道：“(苏先生)第一个训练出来的方德植先生，他几年内在日本及意大利杂志上发表了好几篇微分几何论文，因之浙大研究空气渐浓，以后能写论文之毕业生亦渐增多。”解放后，方先生长期担任厦门大学数学系主任，并一直坚持上基础课。著名数学家陈景润就是他1950级的学生。陈景润先生碰到苏先生时常说：“您是我老师的老师。”
后来，一个微分几何研究小组在苏先生的指导下成立了，主要成员有熊全治（后为美国里海Leigheit大学教授）、白正国和张素诚等[9]。
熊全治先生是浙大1936届毕业生，他发表了射影曲线论的论文12篇。美国密希根州立大学的格罗夫（V.G.Grove）教授为他的几篇论文在《Mathematical Reviews》上写过评论。格罗夫曾在芝加哥大学随维尔辛斯基教授攻读博士学位。格罗夫对熊先生的研究工作很欣赏，1943年格罗夫同意他去密希根州立大学，给他研究助教奖学金。熊先生于1945年赴美并于1948年8月获得博士学位。后来他在哈佛大学工作了一年零八个月，在拓扑及整体几何方面奠定了良好的基础，1952年到里海大学任教，1960年任教授。1967年熊先生创办了《微分几何杂志》并任主编。1989年，里海大学专门设立了“熊全治数学发展基金”[10]。
张素诚先生是浙大1939届毕业生。他发表过射影曲线和曲面的论文13篇，1942年他把苏先生的高维空间曲线几何学构造理论进一步完善化，用纯几何方法决定了五维射影空间曲线的Frenet-Serret公式。张素诚先生1943年获浙大研究院的科学发明奖，1944年获当时教育部的科学发明三等奖。1946年陈省身先生从全国遴选一些年轻人到中央研究院数学研究所工作，张素诚是其中之一。从此，他的方向就由射影微分几何转向拓扑学。1947年，获英国文化委员会奖学金，去牛津大学深造，1949年11月获牛津大学哲学博士学位，1950年春回国。除了研究数学外，张先生从上世纪60年代始，还担任中国科学院编辑出版工作委员会副主任委员，并主持《数学学报》和《数学进展》的日常工作，为我国数学事业做出了很大贡献[11]。
这个研究小组中的白正国先生，现已97岁了。2012年4月10日，我们曾专门到杭州拜访他。当向他问起有关学派的事，他说：“我们不管什么学派不学派，我们只是跟苏先生搞研究，条件非常艰苦，但我们非常努力！”当问到传说苏先生下面有四大金刚时，他笑着说：“还有一位吴祖基，是我同班同学”。白先生是浙大1940届学生，他发表射影曲面论文7篇，解决了意大利著名数学家富比尼提出的一个著名的难题，人称富比尼问题。富比尼曾在美国写信给苏先生，对他这位学生的这一工作大加赞扬，并要求杂志社提前发表白正国的论文[12]。当我们问白先生见过这封信吗？他很高兴地说：“见过。富比尼说，你的这位学生的工作very good!”从1950年始，白先生转入一般空间微分几何学的研究。与前两位学长不一样的是，白先生一直留在国内工作，经国家人事部批准，被杭州大学聘为终身教授，现杭大又和浙大合并成新浙大。他曾任浙江数学会理事长、名誉理事长。他的同学吴祖基先生，1940年毕业后，成为苏先生的第一个研究生，1942年获硕士学位。吴先生发表曲面论的论文6篇。1947年，经陈省身先生推荐，他到清华大学任讲师，1952年院系调整到北大。1958年后一直在郑州大学工作，曾任数学系主任、河南省数学会理事长[13]。
陈省身先生提到的杨忠道先生，是苏先生的浙江平阳同乡，浙大1946届毕业生，在大四及留校当助教这三年中，发表了五篇射影几何的论文。1948年，经苏先生同意，到中央研究院数学所任助理员，后来从事代数拓扑的研究，1961年任宾州大学（University of Pennsylvania）教授，1968年被选为台湾中央研究院院士[14]。杨忠道先生在苏先生的第一本书《微分几何学》于1948年出版时，还帮助校对和绘图。
1946-1965年的教学与科研
微分几何学在这个时期里，有了迅速的发展。苏先生和他的学生一方面继承以往研究的传统，另一方面则把研究的领域扩大到一般空间微分几何学。主要成员也有变动。张素诚先生已转到拓扑学，熊全治先生在美国搞整体微分几何。谷超豪、胡和生两位先生参加到微分几何研究群体中并很快成为中坚力量，后来都成为中科院院士。1952年院系调整，他们随苏先生一起来到复旦大学，使创立于浙江大学的微分几何学派在复旦大学得到发扬和光大。
苏先生担任复旦大学教务长及副校长后，行政工作和社会活动日渐繁忙，但他始终坚持数学的研究和教学。他对于菲尔兹奖得主道格拉斯（J.Douglas）所创建的K展空间作了深入的研究，又为嘉当（E.Cartan）提出的以面积积分为基础的几何学作出了第二变分公式和相关不变量。1954年，出版了专著《射影曲线概论》。这是他在解放前用十年心血写成的专著，本希望能早日出版，可是国民党教育部根本不予理睬，直到新中国诞生后才得以出版，并在4年之后，又出版了该书的英文版。从1958年到1964年，他撰写的《一般空间微分几何学》、《现代微分几何概论》和《射影曲面概论》等专著相继问世。他坚持教学和科研相结合，坚持为本科生上基础课。他的第一本书《微分几何学》，是他教了16年微分几何课的讲义，经过许多曲折才于1948年出版，那是他在旧中国出版的唯一的一本书。但从1952年到1964年，他为了本科生教学的需要，自编讲义或翻译名著就有五本。让我们特别钦佩的是，他年过半百还学习俄语翻译了3本俄文著作。1962年，他已是花甲之年，自编讲义为100名数训班学生讲授《高等几何》。现为中科院院士的洪家兴教授至今还能绘声绘色地描述苏先生当年讲笛沙格（G.Desarques）定理时的情景。1964年，他编写的《高等几何讲义》出版。为了学生能尽快地掌握嘉当的外形式法，他又翻译了几何学家菲尼可夫(S.Finikoff)的专著《嘉当的外形式法》，开设了这门课程。该译著于1956年正式出版，然后他又翻译出版了日本几何学家佐佐木重夫用外微分式法写的《微分几何学》。
谷超豪先生是浙大1948届毕业生，由苏先生选他留校任教。他发表了一般空间微分几何学的论文三十余篇。1951年，他的论文《隐函数方程式表示下的K展空间》在《中国科学》上发表，引起了国际数学界的注目，1956年，苏联评论杂志《数学》首期刊登一篇长篇评论，介绍了他的这篇文章。1957年，他赴莫斯科大学进修。去苏联之前，苏先生对他说，E.Cartan的许多工作都由后人充分发展了，只是他的无限变换连续群的理论很少有人做后续工作。苏先生还希望他的工作范围不要限于微分几何，要跨出去，投入到偏微分方程的研究。两年里，谷先生对嘉当的无限变换拟群的理论作了进一步的探索，写出了好几篇论文，后来总结成他的博士学位论文“李-嘉当变换拟群的通性及其对微分几何的应用”，破例被授予物理-数学科学博士学位。回国后，他又相继转到偏微分方程和数学物理的研究[15]。由于他的巨大贡献，获得2010年国家最高科学技术奖。
胡和生先生是浙大数学系1950级研究生，在苏先生指导下研究微分几何。关于齐性黎曼空间的完全运动群问题，她作出了重要的贡献，在富比尼定理和王宪钟定理的基础上发现了作为其继续的8个空隙，在每个空隙里还确定了那些容许最大次数的运动群的空间的测度。她和谷超豪先生一起对Lie-Cartan的无限连续拟群进行了研究[9]，后来还从事数学物理和孤立子研究，同样做出了重大成绩。
传承、发展和反思
苏先生和他的学生在极其艰难的条件下，长期坚持微分几何的研究和教学，取得了举世瞩目的成就，形成了国际上公认的中国微分几何学派。
苏步青先生始终在谋划发展。在第一时期，他已为学生开设了李群、黎曼几何学和芬斯拉几何学等课程。在第二时期，他为了开展新的研究，更加迫切地进行着准备。谷超豪先生在文[16]中写道：“苏先生不断地给青年教师和研究生开课，几年下来（从浙大到复旦），他讲授了E.Cartan的许多重要工作，包括Riemann几何学、连续群理论、外微分形式法等等，使我逐步领略到 E.Cartan几何学的思想和方法，对于我同胡和生较快掌握这些困难的思想和方法，他还发表公开谈话，表示欣赏和鼓励。”
在一次访谈中，苏先生表明了他的心迹。他说：“个人的成名成家是次要的，重要的是要根据时代发展的要求，努力使我国的科研教育事业不断发扬光大。作为一个学科带头人，不仅要培养学生，而且要鼓励、帮助学生超过自己，真正做到承上启下，继往开来。”[17]他说：“坚持教学和科研的结合，这是发展新学科的一个很重要途径。当前，科学技术正处于相互渗透的一个新时期，更应该鼓励青年教师去注意数学发展的新特点、新方向，鼓励有能力的，打破原有学科的界限，同时参加两个不同方向的讨论班。关于这方面的工作，我用‘鸡孵鸭’的通俗说法，来表达自己培养数学人才的方法。所谓‘鸡孵鸭’就是培养青年教师独立思考，敢于开拓，达到青出于蓝而胜于蓝。青年教师先拜老专家为师，严格训练，刻苦学习，掌握治学方法，打好基础，提高独立工作能力，然后才能冲破学科的界限，开创新领域，发展新学科”[18]。在这种思想指导下，苏先生不是一味地坚守经典的微分几何，而是放眼全局，时时刻刻考虑新的发展方向。熊全治、张素诚、杨忠道和谷超豪等先生先后转至新领域，是苏先生或他们自己的主动决策，是时代发展和科学发展的必然结果。
现在回过来看，我们也不能不看到从1957年到1976年各种政治运动对学术领域的冲击。美国纯粹和应用数学家访华代表团在文革中来华访问，他们在文献[1]中的第36至38 页记载了在复旦大学听取的科学报告会，他们把所有的8个（7位教师和一位学生的）报告都归在应用数学一类里，当时苏先生的报告题目是“船体外形设计中的一些问题（Some Problems in the Design of Ships）”，谷超豪先生的报告题目是“混合型偏微分方程的边界值问题（Boundary Value Problems for Partial Differential Equations of Mixed Type）”[1]中说的“以苏步青为首的经典微分几何学派后来由于它的成员成为应用数学家而消失了”，就是文革这个时期给他们的总体印象。1966年起，苏先生等大批科学家遭到严重的迫害，基础理论研究遭到灭顶之灾，这是众所周知的事实。但回顾历史，对科学家和基础理论研究的极“左”行为早在1957年就已开始。1956年，国家提出了“向科学进军”的号召，鼓舞和激励了广大知识分子，出了一批科研成果，苏先生等科学家获得了建国以来的第一次自然科学奖。但1957年后的各次政治运动，特别是1958年在全国开展的“拔白旗，插红旗”运动，给知识分子戴上资产阶级的帽子，给基础理论研究贴上唯心主义的标签，造成了严重的摧残
1958年8月20日人民日报评论员文章《拔掉教育战线上的白旗》，更是明确鼓吹数学领域中的一些极左言论，批判了所谓具有“资产阶级思想的专家”和“理论—理论—理论的唯心主义”道路，当时名为教育方针大辩论，实际上使不少科学家在各自的单位受到批判，后来一直心有余悸，无所适从。虽然1960年后又一度提出基础理论研究要“香火不断”，但队伍已渐凋零，研究工作难以走出低谷。1962年吹来一阵春风，3月份苏先生从广州参加会议回来，在讨论班上兴奋地说过一段话：“周总理和陈毅同志在广州的科学大会上为大家脱掉了资产阶级知识分子的帽子，称我们是劳动人民的知识分子。从现在起我们要好好干，把基础理论研究搞上去。”但好景不长，各种批判不久又接踵而至，直到文化大革命结束。尽管如此，在文革后期，苏先生还是抓住了到江南造船厂与工人、技术人员合作研究《船体数学放样》的契机，并利用他在微分几何上的深厚功底，在逆境中做出了重大贡献。
1978年，科学的春天到来了，他担任复旦大学校长，为教育战线的拨乱反正做了大量的工作的同时，在教学和科研上做出了重大贡献。他在上海市数学会年会上作了题为《几何外形设计理论及应用》的大会报告，计算几何这一新的学科方向从此在国内兴起。他开设了《微分几何五讲》课程，主持了计算几何讨论班。1979年底，《微分几何五讲》一书在上海出版，其英译本于1981年在新加坡出版。1981年他的专著《计算几何》（与刘鼎元合著）出版，1989年由中国科技大学常庚哲教授译成英文出版。1982年，他的另一本专著《仿射微分几何》及其英文版问世。
1982年1月，在苏步青教授领导下，成立了全国计算几何协作组，由浙江大学、山东大学、中国科技大学、中国科学院数学所和复旦大学等单位参加。从此开始，每两年举行一次计算几何的学术会议和学习班，为我国计算机辅助设计和制造方面的高科技项目提供了理论和方法，并培养了一批理论和实际相结合的人才。1980年5月，苏先生在上海主持召开了第一届国家教委直属高等院校应用数学学术和工作会议，后历任各次会议的顾问。1989年，在他的指导和关心下，上海市工业与应用数学学会成立，1990年全国工业与应用数学学会（CSIAM）成立，他被聘为顾问。他领导的计算几何协作组也已被他们的学生传承下来，在中国工业与应用数学学会下成立了《几何设计与计算》专业委员会，每两年举行一次学术会议和训练班。由于苏先生的杰出贡献，在他逝世后不久的2003年8月，国际工业与应用数学联合会（ICIAM）决定设立“ICIAM苏步青奖”，奖励在数学对经济腾飞和人类发展的应用方面做出贡献的个人。这是国际工业与应用数学联合会继设立拉格朗日（Lagrange）奖、柯拉兹（Collatz）奖、先驱（Pioneer）奖及麦克斯韦（Maxwell）奖后的第五个奖项，是第一个以中国科学家名字命名的国际数学大奖。同年11月，中国工业与应用数学学会建立了“CSIAM苏步青应用数学奖”。（作者李大潜系中科院院士、校数学科学学院教授；华宣积系校数学科学学院教授）
参考文献：
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